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了解机率和或然率
1 c; f& \' n" a4 b概率,也就是机率,机率是属于数学中或然率的一部分。或然率可用於我们生活中的每个部分: 8 K* t, v4 O: D, }! I
天气、科学、商业、保险、股票药学等。明天会下雨吗?男人平均能活多久?医生,我有多少机会?它合用范围很广,这个在数学中重要的一环,和DB及对DB的分析息息相关。
" t4 Q* X: n2 q9 m) n+ n" ~% p& Y
5 a# N6 Q" K5 p: n) T* K一堂速成的或然率课程
. k$ U! I/ k8 S0 J- o; T那么,什么是或然率?它是对机会规则的研究。大部分的人都很熟悉它的基本概念--或然率可以用来衡量一件事多常发生,或者更精确地说,可以期望它发生。虽然有些或然率专家们试著做统计,卻始终无法肯定;地球被小行星撞击的机率,或者一个小孩长大后成为百万富翁或奥运选手的机率。然而,其他的机率,包括DB中的机率,因为涉及的是我们知道全部结果的机制,因此可以准確地预测它的或然率。如果你丢一个普通的铜板,你掷岀正反两面的机率是一致的。丢铜板有两种结果,因此你丢岀正面的机率是1/2--每两次你有一次丢岀正面的机会。
+ C' t! N. O' p- z; ], o0 L9 C; ~7 i所以,机率对一特定事件(我们称之为X)的发生来说也是一样的。它把X可能发生的数目,和所有可能发生的总数(我们称之为Y)相比。可以这样来表示机率--写成P(X) ,读成「X发生的机率」--可以比率或分数的方式表达之。 0 D1 Z/ U+ L8 P- |% f+ F }. j
P(X)=获得X结果的数目/所有可能的结果(或Y) 6 o8 s- ?; h2 r6 F7 k9 f! i! g
所以,在一副标准的52张牌中,抽中一点的机率是:
3 o) u R8 J6 @, u: IP(拿到一点的机率)= 一点的牌数/所有的牌数
8 p* n! X! ]8 q$ I2 r = 4/52 9 o& `1 x* y" h( r, R
=1/13
* ^! N, |8 V0 H# ], q$ }1 t6 r! a$ }9 i$ W5 u* H* G
0 z: u' D: c7 _1 M' w
其他任何一种机率的表达方式 , E% W5 V# z% s
机率有许多表达方式。虽然它们所指的都是同一个东西,但是在不同的情形下,某一种形式可能会比其他的来得方便。我们就来看看在52张牌中拿到梅花的机率。 9 F5 a# p. E# {7 l( Q5 x
P(拿到一张梅花)=梅花的牌数/所有的牌数
' `7 U' B, ]0 E7 ^ =13/52 + m2 s! j* X) L; O; s7 ?! K- ^; ^
=1/4 " p$ J/ N! d5 @3 d* t. I3 }
首先你要注意的是,13/52这个分数应该化简成1/4。一个简化过的、较为简单的形式通常看起来会比较顺眼,也比较有意义。如果你在书中看到一个机率,没办法一看就有感觉,那么很可能你必须先化简它。
+ l. B% e' \% u# A, q8 U l让我们来看看几种拿到梅花的机率的方式。我们可以用小数的方式,0.25来表示四次中有一次的机会,或是说有25%的机会拿到梅花。
6 F9 o% a; p9 |$ d% N( J% k5 |当人们说机率是50-50,他们指的就是两次中有一次的机会,也就是有50%的机会会出现这种情形,而有50%的机会不会出现。表示机率的时候,有时候我们用分数,有时候用小数,而有时候用百分比。
, D K' X, b& J表达某一事件机率的不同方法
$ `3 P% Z) w+ w- D1)事件 抽到梅花
U3 e1 H5 B. C g& J2)敘述 梅花的牌数/总牌数 / B# _. f3 p. n+ ]0 }/ x
3)分数 13/52=1/4
$ o) a) |& X/ U7 n5 k! M4)小数 0.25
6 {1 b/ U3 y7 d; g# {, |5 k5)百分比 25%(小数X100)
. ^! J7 V' i2 d- o( Z$ n/ W6)发生率 四次中有一次
y. M2 \, y- f _1 C) s7)比 3:1
8 o, p& M# H- L+ s: P4 M) _& j
, y. c# C, k! z `. r( {基本机率法则
: k8 r+ P5 }# O如果你能了解以下的规则,那么就不难理解大部分对DB的解释和分析。
" k8 j$ L0 a+ Y" f2 {(1)任一事件发生的机率必介於0和1之间 - k# L/ T7 \' g, H7 x& @& |2 V
当机率为0时,表示该事件不可能发生;例如:用一个正常的六面骰子掷出7点的机率,这是绝对不可能发生的。
8 d- V7 @ X" J% ~+ Q: a9 R5 ]6 X当机率为1时,该事件百分之百会发生;例如,用一个正常的骰子,掷出1到6点的机率即为1(当然扣除骰子边沿著地的机会)。
& M# a) \& _7 S2 D( q2 V0 B W9 b机率永远不会有负数--0(表示该事件不可能发生),小於0的数字不具任何意义。
' p* k2 u, i% {4 ]5 `' E: J(2)一件事会发生和不会发生的机率总和为1 + A0 @* F6 z) u: L
为什么呢?因为所有结果加起来的机率一定是1(100%)--不管是不是你要的结果,一定有事会发生。 4 k/ w; e8 b( I e' B$ Z8 w
例如:用骰子掷出2的机率为1/6,加上掷出不是2的机率为5/6--总和即为1(1/6+5/6=1)。这看起来很理所当然,但是当我们间接推算机率的时候,这可是相当好用的方法。举例说,你想要知道在一副正常的52张牌中,抽中梅花的机率是多少。但是你並不了解整副牌的组成元素。你只知道抽中非梅花的牌的机是3/4。其实知道这样就够了。
, p, ?$ `) z* OP(抽中梅花的机率)=1-P(抽中非梅花的机率) : C& Q2 ^. d+ _- P4 R' c" G
=1-3/4 + N' O, _8 S3 [7 @& P+ U) @
=1/4 # s1 m6 B7 _1 I, N/ n" ?
# _7 M1 a' F% D/ y' K; I' d
(3)连续事件发生的机率等於各独立事件机率的积 * k/ n8 _& i! R% W: }6 [; O
是的,这听起来很复杂,但是你或许已经很熟悉这个规则的运用方式了。这么说吧!假设你想要计算连续丢出两个1点的机率好了,丢一次骰子获得1点的机率是1/6(共有六种可能的结果,只有一种是你想要的),而掷出两次1点的机率为:1/6X1/6=1/36。每次掷骰子都是「独立事件」(两者互相无关),而发生这种「连续事件」(丢出两次1点)的机率即为二独立事件(1/6)的积(即相乘的结果)。因此,这连续事件並不一定是要同一颗骰子丢两次才行,如果同时丢两颗骰子,也可以构成连续事件--因为两事件各自独立。 * x1 l3 K6 x9 U% k
再举另一个例子:你同时丢一颗骰子跟铜板。那么,你丢出铜板正面且骰子为1点的机率为何?此为二独立事件,该事件的机率即为两独立事件的积。丢出铜板的机率是1/2,而丢出骰子1点的机率是1/6。因此发生此事的机率为1/2X1/6=1/12。
- Y, j2 u4 {3 C+ G3 d* U7 x7 H( t( b
(4)两非独立事件发生的机率亦为两者的积,然而,当事件发生时,后发生的事件会受到先发生事件的影响。
2 a: v% l& {; L这又是个令人困惑的说明,但是如果举个例来说就很清楚。例如:你想算在一副牌牌中,连续抽中三张梅花的机率。它的机率为13/52(52张牌中有13张梅花)X12/51(一张梅花--一张牌已被抽走了)X11/50(两张梅花--两张牌已经被抽走了)=0.0013或是1.3%。如果你在每次抽完又把牌再放回去,那就变成独立事件,抽到三张梅花的机率13/52X13/52X13/52=0.16或1.6%。
" m" {9 x, @& _. c8 i2 z( B/ J& h: G5 V* w. c; b# _+ T
经典的机率实例
% y! P+ r5 X1 @9 }8 h. {! @4 g3 c即然我们已经了解机率的基本概念(不是吗?)我们就来看一个经典的机率实例,让它告诉我们现代机率理论是从何起源的。 6 L* V) z9 g( L* S! T
在十七世纪,一位名为薛瓦里耶。德美尔(Chevalier de Mere)的法国贵族,他是一个用骰子来赚钱的骗子,他跟对方下同等金额的注,赌说掷4次骰子,至少有一次会出现6点。他的理由如下: " n# g6 j* c8 R! \/ {0 u
P(6)=1/6
) G' B' j6 ]5 r' D! _" b5 gP(6)=掷4次的机率=4X1/6=2/3 & g$ w- Q; E; u
他的这种赌法赢了不少钱。虽说他的推理是错的--我们等一下很快就会看到--但是他还是佔有优势。(你已经知道他为什么错了吗?) 5 X! r$ R# F6 O
当玩这种游戏的受骗者变少后,薛瓦里耶开始改玩另一种赌注。他也是用同等赌金,打赌在掷两颗骰子24次时,至少会出现一次两个6点。他的推理如下:
9 U( [& f V) w Z- S- \P(6,6)=1/36 + j9 ^; ^. o! x9 A$ i9 r e2 Q9 F
P(6,掷24次中出现6的机率)=24x1/36=2/3
. O5 p& {8 Q- O5 |但令他惊讶的是,他开始输钱了。所以他就问他的朋友--数学天才巴斯卡,为什么会发生之种事?巴斯卡觉得相当有意思,就问另一位数学天才德佛美。他们的想法一致,因次就創造出现代机率理论。(而我们竟要感谢一位骗子的老祖宗!)让我们来看看他们研究薛瓦里耶的问题的结果。 6 g' D; W4 [$ t* k, }
在第一个例子中,我们知道 在任一个骰子中,掷出6点的机率是1/6。但是,解决这个问题的真正方法,是要算没有丢出6点的机率是多少?很自然地,它就是5/6。所以,如果薛瓦里耶想知道真正的结果,他得知道 掷4次骰子时,没丢出6的机率。每次掷都是独立事件,请用上次提到计算独立事件机率公式,我们就会得到以下的结果: 2 W4 N$ |0 [4 i0 F& t
P(4次中没有掷出6点)=5/6x5/6x5/6x5/6=0.482 - u+ S" @& s, y& a: w3 F1 Q z
这表示有48.2%的机率不会丢出6点,因此薛瓦里耶算错了那个赌注。现在要算至少丢出一个6点的机率就很容易了。记得,有些结果一定会发生,那就是为什么我们用1减掉0.482。 " j+ t2 v% v9 X5 w; k9 E
P(掷4次骰子出现一次6点)=1-P(掷4次没出现6点的机率)
/ X. C5 ?. m- n' E =1-0.482 2 f2 B' i+ Y5 e4 f( c3 v }
=0.518 u) s6 [. D7 _
所以,薛瓦里耶有51.8%的机率赢他的同等金额赌注,这就是为什么他能赚钱的原因,虽然机率不是他想的2/3。用倒回去的方式解决这个问题,虽然似乎和直觉相反,但实际上是比较容易算的。
) I, d, F2 o8 b. o9 [5 X& e! o9 N 薛瓦里耶最初的理由也是站不住脚的,如果我们再往下看一个步骤,用他错误的方法:如果掷6次骰子,掷骰子的人必定会丢出一次6点。很显然这是错的,也让我们知道为什么要算没发生该事件的机率是合理的。
: m( l2 V) T. {$ c 现在让我们看看薛瓦里耶输的那个游戏:他想知道 在掷出24次骰子中,同时出现两个6点的机率为什么不是24/36。同样的,算出不出现的机率也是比较容易的:
0 E: M7 i X a" K6 O P(掷出24次骰子没掷出12点的机率)=(35/36)^24
3 U8 o( C: _" w, \! R0 G" O =0.509 ! T. [) Y2 D+ `6 m4 B2 B: q
因此:
2 P7 j. ?+ S4 n% x n- m$ H! q P(掷出24次出现一次12)=1-P(掷24次骰子没掷出12点的机率)
1 V# _+ Q" C8 o& |1 F& s. w =1-0.509
* f: o. I9 j2 [" c =0.491
' G0 C8 a h; f1 i " D+ F5 Z& u' R! {, t
啊哈!薛瓦里耶在第二种游戏中的机率只有0.491,也就是只有49.1%得胜,那就是为什么他会在这个相同赌注的游戏里输的原因,老千反被老千误,但是他真的很幸运,因为有当时最历害的几位数学家帮他解围。 ; l+ |8 n1 f& t- P7 J
4 r' t0 D) n. t( m& X一旦我们了解到一件事发生的机率,下一步就是想到该事件发生的「比」。如果说机率所描述的是一椿希望发生的事件与所有事件间的关系,则比所描述的则是希望发生的事件与不希望发生的事件间的关系。
' ^$ ?0 `. s% Y0 t) |% q N就传统而言,比通常被认为是「不发生」该事件的比。这或许是你在进DC玩任何游戏时,最先想知道的吧! , K% }; E2 {2 Y0 [' s
让我们再拿梅花的例子来说,我们知道它的机率是1/4;四次当中有一次成功的机会,有三次失败的机会,因此,该事件(抽到梅花)真正的比是3(失败的机率)比1(成功的机率)。或许这时候你会皱眉头想一下,「但是一副牌不是有52张吗?3比1的真正意思是什么?」好的,说3比1等於是说39(非梅花的张数)比13(梅花的张数),分数巳被化简过了。 & @/ c) k1 v, ^5 P
当你丢一颗骰子,希望丢出2。丢出2的机率是1/6。比率是5比1;这也可以写成5-1。要了解「A-B」等於是说「A比B」。
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比不一定永远是「多少比1」,但是所有的机率都可以写成比。遵守一个原则:把机率写成分数,假设是X/Y。记得,Y是所有可能发生的机率。而X是成功的或是希望发生的机率。所以用Y减掉X,你就可以算出所有你不希望发生事件的数目,然后就可以算出比。发生X事件的比为「Y-X比X」。假设某事件发生的机率为9/35。这不是个漂亮的数字,但我们还是算得出来。该事件发生的比是26比9。习惯上,我们会把它化简成一个较容易了解的形式,即使它不是整数。例如26比9可以化简为2.89比1。
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很好的一个课题,Dubo就是需要学习各方面的知识,打下稳固的理论基础,不想盲赌就要努力学习。 |
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