随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
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当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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# X: {6 `( S6 ?* F本文
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8 `; O; ~) G- V1 L1 u( I* M问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

% @, Q9 {3 D, i" J7 E为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

* ^- A4 D+ i- c$ |# F& M
- O# h. r% k/ ^$ q. j( K' m2 `方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
0 A3 i4 Q1 G6 r& B0 Q0 T方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
+ _# G$ l, C' `* G4 W方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
1 f6 `1 C5 y# I& m. \% {) g& ], N& ^
++,
- ^( o% G: o  V; t: D( e  I% `+-++,-+++,
% i& Z9 x& Y% D1 C) E+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
1 t8 p, Q; G2 X! f" R- g& G1 v                                                                                                。
3 q& m. ~) D& z" o( Z在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为


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) r8 O5 y0 F- B& n' x# h8 A' O
' n; ~. E- I% d1 P  _



8 f3 b7 y. K1 t% ~) W

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
# Q/ k* C# I6 f
++,+-+,
; i$ b( h: ^0 G$ n$ q-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
" b5 ^: v0 G' @- d-+-+++,-+-++-+,
) B  Z: q& e  j) `4 q' t4 S$ |) n' u                                 
! e  c4 d' j$ n  Y! N# q( r, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


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2 h, x& [+ t5 T& _
. X& A+ l! j) n: F; R2 n- p
2 v1 }" L# G/ o0 C


最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
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" C0 `( p, D. _, {6 ~7 o这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
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; k- r6 M6 a/ p现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
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, _+ b: D# G- d; |- |情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

; T1 i: n0 M4 w7 n情况二：  
- Z# b. c0 Q# s4 W" W! b此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

0 q. _$ v; ^. @; h) s情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

" ^  p/ M8 p) Z) t0 [现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
, J6 ]5 |6 c; }# X. ^0 V4 d3 f: l
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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3 N3 s# z  a' l! Q如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
# L2 ~3 P1 ]! K4 m, ^

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此



- H# M: C& }) C  V/ K% v  {& A
3 n; a0 F& o3 }& Y' {# ]- t, b
' {( G, E/ c) ^1 C& h( K
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
% K+ j) S& l% D, o
( X" `4 r& v5 j/ i情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式




: j: \' I( D3 y) p) I! B! _* [
+ o% O' y. V8 c& T
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
7 {* l: U7 V: z$ q7 i9 R





两边相加，并利用 、，得

1 q: H4 K0 i6 h) i
+ @4 }) u, I% O4 C- |9 @  f

, |' X8 j. L- E7 p/ ?" k* d7 V

若取前 c 项相加，则得

& ^' N+ G  f8 F3 e( V- m

4 f' }: X2 G  c$ a% S. P


0 K2 s( d2 S. t( `0 w  n4 k* R情况三：  
仿二之解法，可求得
# C) C1 ~# F. q- b
! [! ?1 L$ ~' Z$ K( M6 N


( T2 x% K) p% ?5 E8 \0 Q1 ~


/ L$ S) b3 G8 o0 U; X1 r保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

6 O) V9 x: z7 @% a: _首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
/ }( b$ S7 w! `* }1 [

定理：
( h2 \2 x4 s! M: J0 p设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
2 x4 z, P) g) X6 t! p
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

0 C' e+ z5 }  c+ I至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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# I9 ~1 H( ~& f1 G1 o8 U
3 R+ ^$ d8 D& \/ F3 T! Y- p! N7 w



. w3 {2 |9 p2 _& m7 ]
, a9 x2 F" H/ D1 O其中  为所下注之金额。利用
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, ^8 M' W: F5 I# I# u$ C, }3 i& w

# D* ?' Q9 A. F5 ?1 d
: b  v) C' K! a" ]



可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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7 _+ I- P2 B+ o2 e因此可得在情况二， 时，



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3 _5 s0 R" b% E- z; ~
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& _; A4 W% b3 j9 A  r5 \5 o; S而在情况三， 时，

# B' l! a4 X; B9 V( v
! a; g* r' w# H' l9 p9 P2 ?- n
5 R6 d3 h# D- X; w2 h
/ L2 H0 d$ r1 b' g

. j. G7 E1 z- X$ a0 q

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
) A" l3 i8 v5 B4 f* z0 d5 z  H
; H! |4 D0 P+ O/ E/ n
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


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4 a. {/ s2 ?: ~: h, c% B
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另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！