随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
$ d. \' t% s4 _1 Z

. V4 g' H$ [9 A* z有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
9 `3 i+ K: Q+ ~4 @
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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0 }5 e% W' p7 A2 G本文
$ t7 ]. }. n2 g0 A
6 K+ Z) k0 J6 {! n2 B
1 x! [% ]+ t3 c; D5 T问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
0 }1 A" V6 ]: R- N7 B2 g0 i$ x
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, O8 K3 Z) {, O$ d4 t8 A方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
2 ~/ e7 J- K2 M* u: R7 {你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
& c3 q: n/ \' E& _
* ~! h) U6 ~6 l+ A/ b& |' e首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
( F  V, l5 y/ \( H; A! B8 {
3 `+ H) [8 s' _& C6 \0 A  Q0 T- G++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
9 R8 f9 Y' [8 d; @3 ?- ?) I                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
6 w# M" T! H8 C, T4 o7 p) N% K: R


% p3 @' B  ^5 l( z  u
6 a9 |. P7 m. ?& z( u, M: l
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, |6 G5 {. d9 m' T, A4 h

2 g& v- x. G* R2 E1 D. P8 y% ?

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

6 p0 p5 M3 }2 _1 n++,+-+,
) C3 W- j* G* W( x-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
- Q' ?+ r$ e$ X( j- X" l' Q-+-+++,-+-++-+,
' p4 [; l" o1 Q                                 
4 ?3 \+ k5 i5 ?+ N, ,
  u  h, @0 w, L  J& i+ y                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

# ?6 v% K8 Q2 {; }& V! L1 b

- W9 [' A+ f) d6 h" B3 c; F. }
4 l# F; T# T0 A9 H
3 A0 K* y  r9 S; @, B2 q
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0 g* n9 b) O' `" t0 q
+ i5 W# z& ~2 ?  {8 Z4 D' ?9 s3 {7 g最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
& W5 L+ l6 U2 |# V: V
* z2 y4 f- g5 `4 ~3 r现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
# M$ ~. D, {+ t. ^: ?5 G
5 n! T6 b5 q4 R5 v这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
% P6 D' B7 R% ~9 E3 a
) x5 X1 V1 I, J! B2 \现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


% o# i3 f; Q4 S! T情况一：  
! o8 K8 N4 e4 B# b此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
5 D% j0 j8 H, L2 t* i! Q$ M
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
7 O5 e7 U7 E2 o$ \6 g4 |% k* Z- D此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
& n/ X3 j* c0 d: ?. x$ v- E; U
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
# q/ P  J, n5 `+ H& F
2 A8 l' R5 Q- m3 Z如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
" `. l; _- Y1 {$ l5 d. b

情况一：  
0 q1 `9 J, }3 q) V' o* Y( I假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
2 `' |5 v1 B2 o: C  l$ N
7 n* j5 L5 W; i( U: T


6 f. p$ o% A% w& M0 l9 v% e
; \9 O, j+ G9 v2 l
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
3 Z: P; g4 R1 O令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

5 Y! b% J( b( c+ X8 {) `
5 F' A& A/ y, x+ d


4 Y/ _5 `. O' ?( C* |# W/ V3 e
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

1 ]8 W8 [4 s2 @# P* G. o5 N' n
. z  w9 r; w5 r: \6 {$ r
; V! v4 B2 f4 b; l2 r3 H4 Z
- ^) g* }0 l& a2 C! O3 y% I* Z) I  u

8 z9 j0 Y4 O) o7 L4 X# R两边相加，并利用 、，得




# Z. H8 h5 u# D6 G% x3 H' F

- w- q+ h1 o* Z! _若取前 c 项相加，则得

3 ?, z7 c1 e) N' d) ]5 u- I% J


& I5 |/ X5 f' F! M# `5 e1 Z$ U

情况三：  
仿二之解法，可求得
) t  {0 S- \' o+ ^# ?8 \






保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
6 H! l, l+ F- a. a0 U
; S4 h3 F! S/ ~5 Q2 S4 q7 p, O6 v首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
" T) o& r6 i  H. R6 |4 e/ f2 M+ N

定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
2 g4 B+ ?8 W8 P! d  I: B4 G此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
" n# h1 `) I- ^; L6 R
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

/ b  @2 N& ]" A" j首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

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" Y. A7 e4 X$ s; t% E





2 `0 n8 O1 A' k0 T其中  为所下注之金额。利用
: J0 p2 R0 e. R
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- h' T) n& H; j: d$ n

* @! ~: ~8 z3 ?' M4 _


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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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2 |/ n. b" M6 Z8 ]因此可得在情况二， 时，

+ ?8 ]. J$ j- ~& G7 s( y. t






$ N: @0 Z# y' Y. d2 X/ Q! T1 O而在情况三， 时，




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% U5 X  I. l! K- S
" Y/ q) d9 F$ B
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
7 H/ B( P0 {  w+ f: [+ d3 v
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
% Z, c  P+ f# h8 J; G3 p
附录


在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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6 P, G( [' v0 V0 Y


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; F4 U1 v0 j% S0 F

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！