随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

  g+ h2 t9 {+ f' o问题

( _) E5 i( l9 H0 R! O1 ^( |6 b6 H4 H
. x" q2 M+ @6 Z0 K1 |有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

' [4 e" k5 f* Y当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
1 q9 R( U5 e* b
本文
+ Q8 J5 O2 L* h/ J
2 q/ ~# E6 m, y, h, i1 h
4 O' E7 U; R7 Y- K问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
) t. X5 ^/ S; Z. c
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
1 u8 A0 c1 Y( B" a! c

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
( v2 @$ F7 h3 h/ J+ v/ g, N2 O+ L0 r- e方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
6 y4 |; K6 `! d" Q4 V
8 p( ^2 `5 @# L: f. Z++,
+-++,-+++,
- G$ Z9 D" ]  Z7 L) x" L5 f4 {+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
* M( u; x( H6 P& Q6 w在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
5 l7 R1 O! i3 y' _

' @* x+ p. D7 H1 }; V
  P% o  T; g: C( t

7 S: \0 P/ X; i2 M* c( [



: e4 Q- Z; w8 ?; D1 X
2 L9 k, y5 ~% d. z# H4 s) V现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
4 X" u% Y& d, V5 y. V* F-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
' d( @: J8 {! ^9 m-+-+++,-+-++-+,
$ @# ]' `! M  K9 L. w3 b                                 
, ,
: X8 f  V0 g6 c' |/ B; n9 u                                                                                。
) y) l' T; }0 a1 N$ w$ d; c  v
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
: @' D/ u3 p" s- l

" |: z. V+ W' t# F
/ G4 C/ j: ~3 x+ M' _7 ~( ^3 j' ~1 F7 o

- Y# R4 d: o  o

7 R) `, p) x. w# Q( |
# r0 ?, t' n  W) o" n最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
% n9 j( ^" e/ C' z3 K
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
+ ~( t/ _% t& N4 p9 G# G; y4 [# X
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
: \' }4 N+ G- D, i9 g' C8 ?/ j) @
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
# K+ U% _; a2 q1 e0 X

情况一：  
  c4 G4 ]& o3 L3 G3 z4 s1 }此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
/ E7 \7 R, U3 W, i+ J
$ @) G) G* e: J, T  s情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
! |& L2 L% G8 H1 K/ N$ m7 I
1 N; n/ Z4 @3 R9 k7 H情况三：
1 [# g2 S; k6 N2 X  j此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

) P1 ^1 L: l  H3 f现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
1 n6 [# k- q4 M3 V/ d
: D, r( j7 q: w- n3 s7 S) X由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


3 r  p8 t, ]" _! q; g" S1 u) }情况一：  
9 d" s' t" @) f! o) D假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
4 |* S  s  u2 t6 u# ]. d


2 j, T1 t) E; [0 w


这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
7 p/ J2 I- U+ N5 r9 a1 p5 C1 W( z
% B- v( l* k7 q8 g( l情况二：  
* M4 b" `* x+ s7 q) V& z令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

$ x- G$ n5 c8 [




这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
' f0 u$ h* C/ x% B* p利用p+q=1，上组方程式可改写为


3 D. }. M9 j+ y3 ?5 B- U+ j! b  Q
) |# I/ N1 `- I  d1 L

3 M5 i1 Q& ]0 B$ E
两边相加，并利用 、，得



+ g( |6 |! F* R0 Y) E$ U# q
6 B: ^( ^% @) {4 P

若取前 c 项相加，则得
& G) l% J" Q: b7 j

% |& C. T  i# a/ J  _


; h, u/ D3 a: I
; y+ K# ~$ ]# ^. R( L9 m+ E情况三：  
) J9 K: B% x/ y7 @) V仿二之解法，可求得

  C  r5 L4 x% v6 S/ C, `
& {- h- L! r6 r! e$ v/ H% u

9 p; A* V9 u! K& x

5 m3 e. `# q/ a5 ~7 q7 L' `
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
2 I! @# Z0 ^  s2 d
+ z* N' v8 q" U/ W首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
. _1 H# }9 d3 p2 M

" F: w, p* W" b. ~1 w定理：
3 e3 L$ L9 Z  q6 o* ?; `设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
7 f& l5 w! l2 ^% r* G: d
) v& a3 b/ g5 |+ {  N% S现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
4 d4 t, u! S$ p! h& r0 m& }
. |+ z6 M& C$ }# T2 M1 `2 o8 v首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

( }' P) H0 F9 {2 |/ V至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

# J9 l$ @6 @8 D/ f5 k; z6 ?5 A' y
/ O0 F1 a. }  A1 Q: p3 {
& R, G3 w/ f' h2 F
* R4 Z1 _! k1 d# @! |



其中  为所下注之金额。利用
8 S7 q8 @4 g3 I" [: }




2 B4 g2 ^, b8 g, U


可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但



6 N: H2 }' Y; {4 b
+ ^$ B/ ^/ j% L0 ]; P2 \
0 K9 X2 q+ i4 y) s( h


因此可得在情况二， 时，

, f: c6 d, M7 b' m2 D


8 F7 {$ C  H8 D0 ~
! j1 B( i+ X$ }+ X# g

% ^5 S1 X* m; z# k& u# w$ Q; m8 n
1 S' i! H( W9 ^, J+ \而在情况三， 时，

5 p. p( f5 }6 @. A$ m4 _0 I

% P( R4 j* G( |& o5 J2 U
" G8 v% w, G+ B0 k8 i
2 N- \7 e- I  r  t! O
! U$ O# f! N0 x
/ t- b5 q1 @5 g$ v% x: @
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
: v+ r( C  i* m( K& k/ w/ c& d6 N
7 i0 v: {* g! L/ n4 g. `4 m: v至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

3 k9 H: }/ ?2 G: E, [5 F% {5 a5 ~/ e附录


在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
$ N$ e- o$ L8 ]2 X
. N$ N) r# {' h! ?
% ~8 o; I. f, w( X) s0 k
( Y# _4 e9 d# K. G/ z8 Y/ n5 U6 P: U0 F


& k+ o; e$ M3 t( W
' L/ P% P: R* v2 c" F: G
8 i0 w0 X% I0 R' @另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！