随机赛程的最佳策略

引言
( I  i0 R4 }$ L& P& G. }
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
, A. z2 y% o  d1 t
问题

1 f9 l! v+ ?( i1 f  S) g; k
8 w. H" S8 l3 [/ s( n有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
5 |! f  Z# F3 A5 }$ g
本文

+ O0 r% I! P/ M2 m" m9 z
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
% y7 t$ ?, V! O6 x

* u. ~, Z: ?& a9 y4 ^方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
: E9 T& z8 j/ ]  ?* b" ~方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
  a: N: A9 Z; I  i4 o/ F你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
6 ~; o. k! x& N$ q$ X# G9 D
, P6 U, v% Y# x2 t% I首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

) o6 a9 `7 `! V- F' \6 x++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
% l3 z+ {8 A( @                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
2 X' c3 Z' M0 ^& j
6 {4 N0 f1 _1 y+ x, p1 o
0 {$ R4 [" _: B, a+ k5 n! ~# ~3 k


5 a, }) c/ I# _. _/ W3 L
0 V2 j6 ]5 @7 L% {

" X% @1 C/ w, U) @0 E; m: M
. ~1 w+ `- _  C1 J
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
! M6 f2 z! y( |' `                                 
( s' O4 M: u& t' N. v, ,
                                                                                。
- W# p! d2 R3 t$ a! d, f1 @
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

( x) o3 M" f% E4 D) }3 _


) {& j) Q) H" X" U- H

/ ?3 D2 `& a3 y6 Z% y

* E4 k! s/ @( K; l最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
8 M' L$ |- x1 k
' [! t9 c# A8 _现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

3 v4 C, `8 j9 X6 E/ [5 I: E这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

( V9 _* y6 X, ?现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

& ~8 M; {8 O( Q) V
7 ]; {! J0 r8 H情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
. i  Q- u0 m3 R* }此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
! v0 A# T3 [. g. u1 \
( R& T2 ?6 J- i& ^* G情况三：
2 p7 ?) V+ T/ V5 k! \7 F8 P此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
* W2 f/ T9 o- Q2 T3 {
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
) \* E5 g# b5 p# C! r2 [+ @& C
由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
% a8 @  g4 r, |7 o# R: t
# f- p) r2 o  S如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
" t( G/ f0 L( G) q  Y5 v- C假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此




) h  V5 E7 c5 ~0 s$ D9 O& d  u* ~- z
& ]6 U/ `0 {) |! p3 k0 P
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

, ^8 E" K9 C! j/ s情况二：  
* H) w$ s" L; f0 u* c令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
7 N( s7 Q; L; h
& _) ]3 i1 y- M# O2 b


" M/ q8 `# t: J

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
7 o7 ~1 o* e: N% z, f利用p+q=1，上组方程式可改写为






- g" J" P% Z) y2 u两边相加，并利用 、，得


# Z1 l0 z" x5 `1 J( S% Q0 u4 l



) s, g  N. ]3 i) C3 G" _若取前 c 项相加，则得
7 U0 S0 S) J5 K5 s


6 A% i9 w  Y4 K1 [
" g. x1 R/ g0 u" C6 @- |" K% W
$ p" z, x# F) {& V
情况三：  
仿二之解法，可求得
9 ^6 @7 x  ^: X% v7 j" O( Y

! o  }; e' x" t0 D
  e7 A& P" Z1 |, l1 R! V
! P( L/ e( {, O; t) }( ]


' v* Y0 c( v% h0 d" q% @保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
/ x; M8 z1 ~8 b. h5 V2 f
6 l0 p/ q! I+ a0 M首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

* n+ K; A! p! d6 k% O! k! F( [& e' D
定理：
. h9 p2 [6 f7 l: `+ n1 H9 P. \9 x5 Q设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
- h6 j+ \7 G" Y, f# a此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
4 H( Z8 w9 z" X* B$ A' S1 v
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
- {2 g% g6 \5 w3 R. m
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
- T8 A5 F& [8 K3 n8 `  Q7 K




1 B- s- h: t* ^+ x) \2 K

0 H% X6 h- w9 z, J! K/ Z4 v. G
9 @. i  u$ n1 `6 Z其中  为所下注之金额。利用

9 o( }% v6 _  p, T. _8 g
, a2 X6 D$ n  {6 @
! G1 P; R* i: K9 X* A/ m5 E& v


: L8 m. k. k8 @7 l- z
6 I0 ^4 Z1 C) `- J3 m' j$ r
& B, q9 E8 R, \+ L可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
( r6 R; c+ d* i, {, ~+ p



5 h, ?+ ?0 d) b3 R/ J& y
5 q9 W, y3 H* A4 T
9 h" a8 R2 j$ A
# ^. Z1 h5 C5 I# J; N, A& E
; Q3 e: B, c+ D6 C2 `/ f$ a+ e因此可得在情况二， 时，


4 K  x! ?, k1 y) A7 G




+ F  }- L5 Y: R" Q% o2 O. Y
而在情况三， 时，
/ z9 \) A# E4 X2 W8 }% M- I; q
8 d/ [  m4 {& A7 i" r

5 ]; F/ e7 P2 m) A3 i* W



- I. `. U( t% b2 P- ?
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

  J( i! F) ~, k至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
0 \! Z- M6 r' {; x& ~
附录


+ ]* S- Z: x1 C2 c1 h7 h. K在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


$ ?& ^+ Y8 r, c; o' c! Q+ H
+ Q+ T$ S8 j1 |7 U- X% P2 W
9 q+ y6 `# C' o% {* P' C
( }% V( ?' g8 S$ g& `7 A
4 r1 i1 S, r  r4 s" t& j
' u$ x/ c  B! T' ^4 T% @: m1 G
7 r& z) D0 b9 w% y% B另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！