随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
9 m% Q' O8 e  m1 E- I% W- }
问题
% }. Q5 A9 O2 w( e& ]

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
. ]( ~" g& x4 L7 j8 |  K
4 s$ v* }2 m, w. V3 K4 n当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
! s5 Z1 z/ V. O/ K
本文
# P1 k( @7 s1 c6 R/ ]1 }3 K

' L* @' r$ o/ u7 d; |问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
2 l; {, A& ?9 ^3 ^3 N4 G1 l! z
& \' |5 |7 _6 ~. k3 ]为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

% I( L- k$ y( w9 P' {' k4 j; o: N  y
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
" S5 t4 _9 F9 z
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

- ]/ I; L, h' ~, x+ w6 V: @0 Z++,
+-++,-+++,
  V* v; s8 ~7 \0 R+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
& L: `" a- e2 ~+ C                                                                                                。
+ m9 \  s! D8 \, |* \3 [3 h% h/ E在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

7 V& V6 U2 v0 H/ x



+ O5 ?# X, [5 L8 G
! J5 W6 f& u# a0 s+ w
$ A: k& ]" d" p2 `1 I* {! o


  V% |! s% T% Z' S' }, k现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
7 e& }6 ?, p8 c" z
++,+-+,
3 k' b6 n. k5 t! I9 o2 `-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
! r/ {+ b& Z! u2 T6 ?' x, E+ F; _1 v-+-+++,-+-++-+,
8 Y! A4 N' E6 a+ k  @+ n+ w/ m                                 
, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


8 S0 a1 H% {! r+ v% R


$ C; F8 ^9 K0 L( g! y: h+ [
" P$ ^& r  I2 m# t" d0 _1 ~( f% C

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

/ K. \' L/ ?( D/ t# J现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

/ F, w: \/ z' ?: l- S这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

+ D- L+ e6 M, f% ^: e4 N; l- O, w现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
$ t) y! o: e( d/ j+ K7 W

) Z, O8 I0 r& x( K5 i2 e0 l情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

5 R- c+ [0 P; t$ S. ]) `+ o情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
4 B# ]# \' |; W- d8 Z/ f0 s此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

, b# t: I- p! I  W; N/ v$ |, v现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
1 J' A7 v$ J" h! G. D0 L. s4 M
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

; f% q* C5 s: |3 o
+ L0 S$ F" O/ x) k% }) Z, P情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此



5 m& J6 x. S% r% q" e5 r1 O


& i0 v& w0 Y2 a; N* n% O* B7 K这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
, V+ I' \) Z( C  B/ `& f& C
: b3 ^* r& f4 o情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


3 R  _& Z# K" Z4 a* y$ I7 Y6 s' A7 v


) E+ i) C( @7 d) `3 ?
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为



& h0 j9 }* u7 X; Z9 z
% {  W7 |, O; k2 _5 l0 z" D

两边相加，并利用 、，得



0 ~1 J) i* d$ T9 u5 U
: o6 c4 F3 A# ~

若取前 c 项相加，则得





/ o" U7 J/ Z# Q
情况三：  
4 _; V+ a( F, R! A" x6 Q, q仿二之解法，可求得
1 d+ \9 q' J- a0 c
( v. |3 J1 ?. }) l4 J# {

8 p5 b( w) q0 A' {1 k% @

2 g/ q+ y, Q% P7 _

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
: G$ ]/ S  ?1 m/ C- O2 o' M
3 g, |7 \& X9 r. w8 f
# x  Y1 r; X- R" O& q* `7 [定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

! o4 ?" j: i  \. W% t& y' w现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
. V! z! X: n- e
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

, y5 i: b  S$ j* j

4 `1 c. t( |$ }  d



: ^+ C/ p+ z" o6 |, e9 h
其中  为所下注之金额。利用
9 q. J7 S% t* {$ Z) R3 M
. x0 H. J" H0 n


, ~( f( c1 F4 |( k$ Y7 j

+ T" r$ C% {7 B9 N) \1 _

( ~2 N7 a2 g& \8 Z% w( ~3 ^2 z可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
4 |5 i) {& G5 f

1 G( m" r' p! K2 d& E* M

' I  A6 e  ?- d' V: t7 t+ d
' S1 {# r6 Q+ G4 v( n8 `& T1 O

1 ^! a1 |- s( V9 D  w8 H& p  J( L
因此可得在情况二， 时，
. y& p. m1 d  q: `
: t; H8 n9 p4 R" K1 b: K9 m$ d9 B8 U
6 x$ U! h$ U5 j6 R$ i/ p
  l' \8 v, F1 {) `  P7 L& @/ L. ]
: @9 L2 @6 X1 C' m$ |
2 k1 n. Q+ m# b( _- m) V

9 G" T1 I0 e  S% h3 F- G
7 L# ]3 J6 F9 ?0 x4 V而在情况三， 时，
- g5 s" a3 X% U. W+ h
6 c  a4 H' B! U; f2 S: Q  p- b: g



6 _9 D+ @& s+ V) r! u5 c

- d9 k8 G; u, X
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
& U' q, Q  ]& X: Y3 X+ V
' B9 D: V& y- p3 z7 y& v3 _附录
' s2 O/ ~* Q! V0 {* u$ n/ O* J4 ~

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
5 L! c- T5 |3 c8 [/ p2 b7 ?
) N! S' S: C- }
/ U& t5 s; L. b8 G3 u$ [0 z6 }

4 V! E0 @! E! V* e& `; R
) T; U  d- K# Z5 ^0 p
! g; E* ]* R5 r# Z* @
6 ~0 U; Z. a! g# n) L( k6 E" O
/ [* |! }3 w3 M另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！