随机赛程的最佳策略

引言
* ~+ S" r- g4 ^3 E/ q! c  H
8 m3 X+ n' |6 Z在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

4 R- j  j8 R& o问题

; V, X7 f' U+ W4 e0 j" ~
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

- n& _# y0 M+ h. N! _+ e0 D- ]8 [当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
9 w2 @/ r* {; N  {+ F& A, R
本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

4 D9 `; t! G$ Z为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
' P0 M$ a8 C' g9 C; d. `7 S- f* o

4 ]$ T- e: L6 Y+ ~5 M方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
6 C) ]. b( _! z: T& O) E* A, V% W方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
1 z6 D0 f8 v7 d$ K: d) D' @方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
% H9 l4 @- t: A7 }: G" g; H; T你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
$ [& r1 A5 k1 b* A
/ a2 Y, \& @" a% c首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
4 x' s: a) h# w. ^+-++,-+++,
) R) ~1 ^) Q: Q: N+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
+ {1 ~! ^+ e5 C9 N0 j$ x                                                                                                。
/ W. \% w% m% M: g- R" s在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
, e+ _9 X8 z. \* m7 H# M



( Q, c' O. i+ I4 J- O% t



6 A% [$ f( g3 k# P

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

, L% A$ e+ t. N. t" Y' d: P++,+-+,
3 |4 n3 |9 F+ H& L. k-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
+ E# ~  A" _6 ?$ D8 ~! O, E7 H/ O, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
' R0 a+ y  r1 Q6 t
! }3 |4 g2 b; m& G) R6 q4 t- Q, j
6 z1 O  K3 O5 |# k+ R# n. G/ L


6 b/ D/ p! {% j; ^' H' i
+ h/ v: R# t; P  u$ M8 ?

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
) U8 |9 O  Z3 Y7 B6 f
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
. A$ r! |- m; y$ Q1 i  j# F+ d5 D. O
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
# h% O2 ?% T4 g, N9 \
3 `1 ^& M/ F2 \9 R- N( [7 N
情况一：  
8 h2 P4 W& A& w. O$ S0 |此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
' p+ X$ W" l& E3 N% J) j5 O8 E
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
. j. [" ~9 G( ]5 Y) N" F
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

" V" @" O6 k1 z# G0 Z; J( G现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

8 E. X. X9 d& I  f+ g由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
, k) K: z$ z: P! U6 H6 M; D" W' U7 X
4 @2 R0 B2 Y0 w  N5 t如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
# d, @" F3 }# t/ ^8 f; Y假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
# A5 F4 E! t$ j
4 u9 C2 }6 y6 G) |( G' H
4 C( F- y  ^  _2 ~7 [% A
. L# ?0 t& p5 f* f* p" o9 X

9 a: v  v% k/ }8 q
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
5 T% c- _& w, M+ Z
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

' E. v" f1 b4 V9 m
/ g  g, D8 c9 H+ T7 W
& k8 h& h$ G  B  R& }% ]
4 O2 T6 Q, x+ X4 y
/ x) |) u6 l; z
  ~% \5 v$ g) }这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
' @! }0 o! V6 S% ]9 f, n: a利用p+q=1，上组方程式可改写为





2 q, F  q$ k6 [2 T& g
' e  s  _% j) ?  B  C& C& q# s! i两边相加，并利用 、，得


4 n7 E# j" f4 Q1 R
" I7 B6 \8 J! W$ h: P
  @; V3 L+ E4 \. K' b

若取前 c 项相加，则得
! l1 ^' j1 D  D$ r0 D2 w' ~

. q0 q& |' e* s8 [7 F
! x( [4 x# I( q- _+ r

9 Q8 u; Y! `9 [8 u, R4 L
情况三：  
仿二之解法，可求得





) A3 V7 w& N1 ?

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

2 o7 U: i! k3 Y( N
定理：
  v, O( {- A6 G) |% T' r, S$ r: ]设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
7 q6 V' N1 F6 e$ [% ]( t$ y9 w此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
2 z6 j# o5 F* D- y. e* w8 B$ ~
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

, X/ H) \9 K( D1 H首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

4 ^% Y- H! Q9 Y' u

9 @  f- Y! t$ x# e; k8 p9 o
- M6 e5 {! X3 M6 d; E


3 x7 H' u2 ?" Y) R$ ~# U( Y
. S* x" ~5 g* x4 P7 K4 _/ f* X其中  为所下注之金额。利用
7 g8 u7 i4 D; C! O
1 C- h% e8 r, F% `

  [) R; n$ S$ U



  o8 P2 J1 v4 k. H2 _1 Q: W, a
6 k+ d5 [4 p4 d8 N可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
% d. T7 V5 f- L3 t1 y& Y7 I


- F! j& i" e/ r5 i7 S



% J- _/ a8 u7 I5 I  z
8 H: ~9 L- n) h" x因此可得在情况二， 时，

0 j4 @0 @% `7 I9 h4 A
1 ^3 k& L. r4 I6 n! u: d0 b2 ~) [


4 S( P: |8 j  b5 E3 h4 I3 s: }) D
5 v" [, l' Q( ~: o9 q% ~

2 M; g4 j( g) v6 _5 l而在情况三， 时，
0 Y& m1 c8 |) U( o

* n8 n; O5 B" h; D  g8 e( K

/ j& P  H% i$ t

5 S4 d6 \& E9 W  n- t0 h, Y

3 L* X9 C5 ?$ e  E$ R但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
4 Z6 N7 x& d3 i+ C
" x; d! d+ l, U至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
( j4 @1 U( h, n9 r" c9 R
附录
5 ]2 S/ m$ @; T' d; u% Z) S3 U
+ \5 |* L4 p6 _6 B% w6 Q
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


- k2 K) v$ T" O0 j
; S6 N4 [2 }: S' w


! E! z# T- P0 b& _5 ]" ]& d. w
2 S& {( c1 n7 \2 ?. K/ }3 _
4 @7 |' Y4 b8 v+ F另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。