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小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。4 L P, [/ U% I1 O5 f' P7 o& E
$ g, P4 t/ V$ _! p) b" |7 Q5 z) d* p- l
想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游7 @4 \+ p* v! m/ T
6 y% L- F; h) r. Z! C/ E6 A" @戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵: f+ p$ t# ~3 {, l# W
B3 o8 M6 ~: z满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。" v. s- ~! n! T5 F5 O
+ A2 |* _. j' O: v- r8 X$ Z( O
21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法
" w+ \9 v5 N% _4 l- {# l
) F: v( [$ H, Y$ ]8 U C* O- Q的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高
2 {0 n6 k" `( q) w, C$ b9 A, \. L/ R- ^5 A) b
端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。
: j1 d' N5 c* e) I- U l
, A6 V* j7 F, g" w21点怎么玩
' W0 u4 X. M- e- \9 c# x4 U2 Z( C; p虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，
! ?+ W I0 T# g0 @ E: u, `3 _4 ?6 H6 r6 r
让我们先来介绍一下 21 点的玩法。0 \2 f; V J/ A- h
. ?. p/ z; A# Q: F; b. N" G/ S9 S这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到. T" Q& o! |8 M$ }
9 E, r: F4 d) o! u+ t2 s9 [
7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的
( a! f$ y( J' j' s: p3 N! u4 W) O/ T
点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌
0 N2 J5 C0 k# Z
: [/ t4 x! n1 n( H! H3 g算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。
6 c7 p7 V) p1 ]- ?1 i" L; u; y1 K0 G$ m6 I! {0 ]0 a
首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家. A4 y }' E, x9 h
; y$ o& u- b9 M
可以选择：
- S6 z. o; l! z' d+ k
9 l# ^. k% |2 t& Z/ |' l● 拿一张牌（Hit）6 M. h& }, C+ q5 v
0 I1 t2 c; i4 x6 {7 @3 u; m: w
● 结束拿牌（Stand）
- I. R/ Z1 r' Y: Y# K4 ?/ z( E) t& R$ Q
● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）
6 _$ M! [8 j( `- n5 h) f2 U$ m
! p/ F8 N& `4 G3 ^: l% z& M5 D* s2 X● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从9 D. e; `2 `" i! p# `+ M
+ t" Y/ a" B- |) K+ G! y; v; A" }庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）# r# A6 _' Y! k' V6 f3 @& J
+ q1 C, p. f- `: W2 [
● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）: g4 R8 e* z) z4 J: p9 M
8 n c6 G# B. k4 F要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许0 C) v) Q% z; q; N8 o; I4 i6 T
; W/ p2 O! I7 y( E
Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。! @' |" i# M, Q9 H$ G) l' d
% \; D9 F, o6 o R$ q1 J当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，# s3 h2 G, \6 D8 e3 |
( ?: Y' e% ] x- n1 w直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，
1 Y" H: Q/ D8 ?2 Q2 ^( w2 b u% Y9 s" w) z% O
所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为
( ]" o/ o8 w! M7 l* U6 |( c+ W4 }" V
平局，点数少就输了。5 i8 u/ \$ Y& i. b$ u
& r0 V; D4 X }4 n( x当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A
/ T' ]- a% _% F! C" Z. d0 P f' n* ^! {) e, N5 r3 [
和一张10点的牌），这里就不赘述了。
1 R& i" }( c$ `/ W5 k2 l' U" `. r8 u4 }- \! l5 L* I- @
0 ?' t& C# { E* ?- W) b
高端赌徒如何要牌2 U, T5 g! r# F! C* ^
9 g4 y' w7 r2 D s6 p/ C" |2 h
可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，
- y6 X4 E& A# y0 C5 W' H9 K
}! ^8 @4 u; g7 x8 e! g最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什
/ N# i! D2 G9 d2 ?
( T1 k3 u( L- g! E; Q0 u么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。" k9 y" |; H3 e- q- e: B$ y
( f2 W% |1 b# l2 ?, R
Y# V% I) c+ y( ] ]
上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄
/ H- p6 h1 A0 L0 H e/ |; }; ^: A6 k( c
家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前
( U4 a. [0 S) d
0 d9 D- L& ^7 E5 u" D5 B手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的
# p: s0 G' ]6 I: ]# W' C P/ l2 E G. o1 c
话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
! y3 J- S+ \! y1 A
/ h: @) s# b% D; ~! `剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，+ X# K0 y6 S A
" @5 a Y4 A3 s/ l+ g- C
P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double
( K6 R# I% b" W _+ C `. m$ x" t$ q4 b/ V+ s g' J
（如果规则不允许就Stand）。
; l: ~0 G1 [& ~& J
$ {( m/ u3 p I; z4 ?1 V仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很+ q. Z& z: b+ `) B) D
/ f/ A# a1 q7 g5 u: D/ y5 J& E
有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4
/ H: T5 e+ H1 Y, W& I& l7 k2 y g3 h! G) @; y+ _
到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。2 O+ J" H0 b% M3 E) I; q! X5 { E
9 t- @3 v7 G; x I% F
为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先
, S$ O; h1 N7 K. w; u
9 _3 I* `8 r* g9 E p4 f t0 {来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于; f) G: {# U a+ ]0 r& w- A
1 i5 @0 W8 O+ H7 F$ {9 I6 O' f
17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。5 w( Z# N5 t: T2 U! B0 C
* n" O: H! S; t. g( @1 E
如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽" i+ e1 u" ~; S3 g: e
7 z0 c# b7 T. N1 q5 o6 E
到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），
4 K* L$ K. L5 e2 R! l8 t e7 k I4 `+ ?" _ u# l
设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：
/ ^ b3 }1 @8 w; D/ w
$ N# _% n0 }5 G+ `9 D& YF(H16) = 8/13 = 0.61538
6 |8 i' B" M& ^' `; M1 v& G4 K! c
% G* m# g: H4 i1 Q# r当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：( A5 `8 A! ^ v! r0 S& {$ v8 a
# U) d4 W) H' C, b! P7 xF(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580
. c6 @+ c t: W: d& [& k* U* @6 `) X& a! Z
同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所 _$ \+ J( y& `/ e: N
n% v3 K7 L5 ^. X/ `不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出$ Q! m6 s/ Z$ o" P" o8 C% ]
/ ?9 }8 `/ \2 h: K2 X' b3 M* c
H2—H5 的情况。
$ G6 k4 w6 z5 f4 N" O- Y' h9 K! `5 |, A/ B: _8 @& h
那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：: R7 M4 n0 I6 ?) B# l
$ e. h$ k7 t% F. S# g( ]* q
玩家没爆但是庄家爆牌
" G' X; w7 E, z1 L8 Z! h, H- S0 }8 v9 k9 {3 E! H7 q9 s" W. G6 A$ C& T
玩家和庄家都没爆但庄家点数小
; A6 r5 o) }* j0 O- A O
5 M; U" e( d8 E w4 n爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌
/ A: u0 V8 J. _& D9 @% x% Y9 j+ A$ M }5 C
为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。
3 g- {3 ~' c1 J6 S
3 m- ?3 T, w1 u$ [. N/ D如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：2 [: ]* [$ [& y6 p& k" v# J) B
" A8 y, d) X2 D5 h* G7 M+ fG(H3) = 1/13×G(H2) = 0.076925 Z- v8 b4 g, }
^' S- _4 [, P' O+ S! m* [& T
类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。
& g0 _" J. e! k6 d5 a# B
$ ^' m U3 V4 \' y2 ? M$ B在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：
. {: h/ W: e: a2 r* h' ~% G- g( \9 M1 v5 c# r
玩家拿到21点，庄家拿到20~17点: I; y! ~. h/ M* P* H! A
! |3 E( y4 }! p& S& s9 T" j) ]玩家拿到20点，庄家拿到19~17点6 k$ K) H" c" m
. ]& K& f& Y( y# B; @# l" y4 k玩家拿到19点，庄家拿到18和17点
- I( w3 M4 i$ q3 e) A, Y8 A7 P$ [/ p) N ~/ p8 k( q
玩家拿到18点，庄家拿到17点+ A6 \0 w9 j; N- g) ^) a! s
( D9 S5 R' u h+ Q3 `, t( U玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，% f3 d: T( O% c% z
2 B/ V; y9 b% S8 B( U
因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的
" _2 k( |& c. B0 y3 x" t0 h2 p: w; X& @3 j# h2 m* h# s
概率为：$ ^8 k z1 r, u; T0 H# w! h0 a
, E9 p2 ~( C9 ]0 t; l5 h6 xP4 = G（H8）×G（17）
* |$ J+ r0 `& y2 r7 x" y, b' Q \5 U0 Q9 b# _( q- a: e& Y
同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为
0 A# N: a1 P3 K6 A z- q. z! d' V! i4 \ v! X3 d5 f3 M
2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：
" m3 P* W- ^' B, ^+ p8 F+ t8 L3 o- I( z3 n
P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958& B6 P+ b0 I5 K" @3 j
* \+ w. s1 \& M/ f& v( c( n7 l前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831% S; D! i! J. z, V8 h5 Q O8 b, I
% u& k0 |' q9 @* Q
P(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。8 z, l( `1 s& S' D5 g+ u
0 h* e7 w& L% ]$ U' g( s5 d7 J2 D- i; v' e0 U( F
! t O, C# Y+ O: f# Y' t
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