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小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。
% X$ g+ y7 ?! y7 K6 H
! s: J/ q! s9 e
2 M; ]' S/ M- r( J! p想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游! ?3 w: ~, a' @3 F1 P" N# Y
8 t& g, H! k; Y) h/ u戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵
7 d+ u! E) T! E8 S' c- V. ^
0 A1 g5 w3 s% S& U满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。
' V9 m4 q8 X& s8 @/ J; j J8 i: t: j
' k/ \1 g8 ~' H; C# b21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法4 ~( c, ]0 v9 Q0 {: B
W8 y' |* E: ]& t" q的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高
* l( e# E; P- ?
& Q: d& v# j, I# z端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。
* h/ I Z7 L B' H6 N5 K, M+ i, s, v: \# N9 ~; w3 x
21点怎么玩. K! b6 i' H. S/ S& J' A {
虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，/ m# v x/ \1 n3 n3 g9 m
: s n: {: X& ~0 _8 l& [- z, v* s' O让我们先来介绍一下 21 点的玩法。5 {& f9 x* ^5 ?5 E+ R1 Z5 n
- }. ^& p3 \1 p- `8 r$ ~这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到
; g3 n( |1 c; z7 Q9 { o d8 Y2 y8 ]+ z; m4 g
7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的
0 b7 o9 s8 U# J( S5 v }5 h1 D0 P- [" a ]$ u5 G" D+ X3 d) `
点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌
; Q* z4 c7 O2 p0 ~5 X
+ e' o2 j$ A. c. K2 ^& C算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。
' w: w+ F; b! Y- r0 ^. ?+ r" O
/ ^/ R. P) C$ z/ q1 n F( S: V首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家
/ v# {' L. m( q) \5 I( v4 y
/ D! b" u3 l" f! g! e/ Z可以选择：# n' x/ K) A( `8 J. N/ ]7 a
9 j1 }' {* s$ P- G7 _. E● 拿一张牌（Hit）( P a' A# j5 U4 Z) T
8 K% K& U3 j. r* j" x, ^
● 结束拿牌（Stand）
$ I2 @ l% Q9 Q
/ T% |* H) ?% C0 T. d9 B3 l, P7 \● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）
/ u& {7 A' p+ i# F4 e: `. w# l
- E( ^7 i5 Q" t0 ^, w4 X+ O' X9 Z● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从! \) ]) |: ^" P$ W. V
: n# i0 b6 ^9 ^2 ?
庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）1 I8 r5 ?' O' ]9 i
5 S" \" g+ J" K* R● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）
$ W: @6 d* x- q. s( \9 }; z& _9 r* m: d7 [! j. {
要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许+ } @4 t) K: x6 S' F
; x. ` K6 t; Z+ a; E8 k( b8 j0 h Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。- [. {9 W2 L+ P) r, V
3 U* l3 F, G+ k9 e. a" T* g# m当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，9 ]% h7 }" p: S8 V5 h0 ^0 _* I
5 H! L l: C6 ]0 S) w6 t) B8 k
直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，& X% P; V0 R7 H0 i3 X; d& S. }
' D" e3 Z$ {& g所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为5 o1 ]# O2 `; [; Y/ c' Y% ?
9 ]; ?1 W2 n* J
平局，点数少就输了。
( M% i" \) o9 [" C( d3 M" Z; @1 o, g% z/ B. D& d! e
当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A% T9 r( [( U2 O$ q; E$ s
2 R5 P/ ^2 d- ~+ e o# j4 j
和一张10点的牌），这里就不赘述了。+ {/ R' X; E% q' z
) U5 @4 `5 h4 F, q2 N) o" m
5 O' ]) M3 A8 {, S/ z' w
高端赌徒如何要牌
; ^" e6 V/ C' _+ a+ ~) A0 H
2 I) T8 h% {, H6 H% D$ C x8 F. k可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，
, e2 S, ~3 I* `, U4 Z. v5 i$ ?* H' t* h5 Q% u
最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什
- A# l7 G* K- E: F6 S- W! e( d; q* r4 p
么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。: s( n3 u2 F) I& m5 t
( Y Q; a+ p/ K/ K7 h1 j) G3 Z: i/ ?" K: R
上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄
_. e& H+ T2 v$ D: t8 T" k0 d3 |' d( ]$ Y4 w( a3 F7 J
家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前 M2 p% S2 S& z; z2 n/ q3 Q7 Q, R
2 o& e$ e P* h
手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的
. V( D+ Q3 X, j
$ M# Z2 j u' c" T# t! S6 g/ L' h话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
, o# T" y$ ~' z3 y( j
. M% n! ]( w+ U剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，8 U. w# ?, u+ {
/ o9 I5 E+ F" ?! m P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double) L h" V9 k/ `$ l6 }: Z3 \) H
; k5 J) u4 I( Q* `9 L& f# q9 B（如果规则不允许就Stand）。
) h# L/ U( x5 x8 r. w5 J. P/ R
% |) i4 Y2 r, C: R2 v; {! I仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很! H% L8 u6 r7 a$ k' G
1 L( j0 V0 {4 s0 @% X. ?
有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4
6 Z1 m! H# C& ?+ a; I! t% s1 J; ^( f& V% Z4 B4 G
到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。
2 l0 C8 a( \) ?+ z
1 U3 E5 p) p8 s* Q' r& }" A* Z2 ^为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先
7 @$ z0 T- _1 k# D. s' K, Z- N
' h+ Y: x) p. ^5 q+ R* t来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于
3 r7 E: D* } N5 f9 Y
% D- j: @8 K/ V" H, d 17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。* T/ Z( _% V/ o: {) x# ?
$ m' f! v( g+ T4 l7 |( |& F5 j如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽4 q. E" @, f6 N7 m" n v
/ I. g4 m, z! ^到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），, b9 T" {+ E: G7 C# v! M
& s, c* N, u* ~' d t; h" n' z设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：+ Y! C, p2 v6 j% Q6 q
7 l) L: K3 L5 l/ \8 U9 k% [F(H16) = 8/13 = 0.61538
+ e0 v4 P+ A0 F! A+ ]1 M' @* I6 N5 V- i9 D
当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：' B' v r; C; S; I
6 T( d2 _6 I# jF(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580
- O! p* V3 J- V/ {% s4 m% e1 {4 v( A
同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所" H/ |" K2 z0 x
: q9 o- E+ ?8 x. D$ j, v不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出5 K3 |2 Q; B: U7 q A$ G& Y
; O) i( t8 I) \. l6 s) w. b H2—H5 的情况。1 L& a' T! N B' A
) G0 ]; M8 i$ ?2 p5 M X. E# G
那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：
) H$ ^" N3 [- M1 U$ C+ e6 \; X. `' W2 M! o0 ]) Z ?
玩家没爆但是庄家爆牌; {9 S, b( w9 [# l6 n5 f5 ^
1 U X$ g9 \1 R1 C+ T# m玩家和庄家都没爆但庄家点数小 O- n+ ]$ f. R! r) f% z) l! V
0 t9 E$ T4 X2 L3 d( O0 b! K* R; j爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌
8 ~ c! {6 A" x( v% l
! W1 q1 u9 @3 ]为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。6 A% l8 g9 P+ @5 G; ~
. @! J$ u7 E A
如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：
z3 p9 w9 } `/ n; }; W8 F3 l3 ^
1 }- u( U; J! oG(H3) = 1/13×G(H2) = 0.076925 m0 H( _! `1 Z7 v
2 X0 o: {" t% {) d6 S类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。( K& T1 E: D1 C
* K3 K( a/ q2 E8 o" Z+ c在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：
8 ~& J }& D$ C* V
5 S7 Z h" B# W' T9 ]5 t, n9 H3 l: J玩家拿到21点，庄家拿到20~17点
% n# p4 D8 j9 p7 \/ R5 Y. e
. f' {& h; O2 _2 U. f* B玩家拿到20点，庄家拿到19~17点
8 `7 J1 U: b% o7 Q! U
( ~" }, m, c8 |; G6 Y/ U玩家拿到19点，庄家拿到18和17点
" \0 k J2 N! y8 t, N7 z8 ]9 `0 ~1 T' p, [( {- m& m
玩家拿到18点，庄家拿到17点! N' m; q) g& O6 H
8 l' e, c, u# Z1 d) X7 s: X玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，+ @3 b# S0 s& w* l0 x* G6 b
% h$ r8 _% i0 C+ m' s! q! z: i/ i0 V
因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的
. O. x- o' t( x) I0 e
( q+ n# [+ X( S' {9 e- G概率为：- C' [+ Y, v5 b8 a! o# C, m' P
8 `( ^# g# |( Q. y) u
P4 = G（H8）×G（17）$ D1 O* i& W# y; K' d) v
* ?& V3 r6 I2 I+ F, @
同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为
2 Z& K. {; x9 P4 e
. ^2 e# f; F: l' @5 s 2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：* }) o Z" r# y# P
- E0 D q C- b
P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958& B1 ^0 Z- W* N. e
. F4 [+ b. O* v, U& W& d7 S6 z- ^! h
前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831
: u n8 u. K- ~. z2 q
' W* H1 t$ N! J6 f1 b, z& R/ YP(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。
, a( G& j5 d1 q
0 ?" j0 ^0 @- I+ q+ n, c' A6 j6 k! l% d( |5 [6 R* @
4 t3 s0 i4 H' j' U |
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